Một khái niệm toán học hữu ích thay thế cho lực trong nhiều trường hợp đó là thế năng. Ví dụ lực hấp dẫn tác dụng lên một vật có thể coi như là tác dụng của trường hấp dẫn có mặt tại vị trí của vật. Bằng cách viết lại định nghĩa của năng lượng (thông qua định nghĩa của công cơ học), trường vô hướng thế năng U ( r → ) {\displaystyle \scriptstyle {U({\vec {r}})}} được định nghĩa là trường mà gradien có độ lớn bằng và ngược hướng với lực tác dụng tại mỗi điểm:

F → = − ∇ → U . {\displaystyle {\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}U.}

Lực có thể được phân loại thành lực bảo toàn hoặc lực không bảo toàn. Lực bảo toàn là tương đương với gradien của trường thế năng trong khi lực không bảo toàn thì không có tính chất này.[1][3]

Lực bảo toàn

Lực bảo toàn tác động lên một hệ kín gắn liền với công cơ học cho phép năng lượng được biến đổi giữa các dạng động năng và thế năng. Điều này có nghĩa là trong một hệ kín cơ năng được bảo toàn bất cứ khi nào có lực bảo toàn tác động lên hệ. Do vậy lực liên hệ trực tiếp với hiệu thế năng giữa hai vị trí khác nhau trong không gian,[45] và có thể coi như một trường thế năng giả theo cùng cách với hướng và lưu lượng nước trong biểu đồ đường đồng mức của địa hình.[1][3]

Các lực bảo toàn bao gồm lực hấp dẫn, lực điện từ và lực đàn hồi lò xo. Mỗi lực này được mô hình hóa mà phụ thuộc vào vectơ vị trí r → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}} hướng từ trường thế năng đối xứng cầu ra ngoài.[46] Xét ví dụ dưới:

Đối với lực hấp dẫn:

F → = − G m 1 m 2 r → r 3 {\displaystyle {\vec {F}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}{\vec {r}}}{r^{3}}}}

với G {\displaystyle G} là hằng số hấp dẫn, và m n {\displaystyle m_{n}} là khối lượng của vật n.

Đối với lực tĩnh điện:

F → = q 1 q 2 r → 4 π ϵ 0 r 3 {\displaystyle {\vec {F}}={\frac {q_{1}q_{2}{\vec {r}}}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}}

với ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} là hằng số điện môi, và q n {\displaystyle q_{n}} là điện tích của vật n.

Đối với lực lò xo:

F → = − k r → {\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {r}}}

với k {\displaystyle k} là hằng số đàn hồi của lò xo.[1][3]

Lực không bảo toàn

Trong một số mô hình vật lý nhất định, khó có thể định nghĩa lực dựa trên khái niệm gradien của thế năng. Điều này thường do những giả sử vĩ mô cho phép thu được lực từ mức độ trung bình thống kê vĩ mô của những hệ có trạng thái vi mô. Ví dụ, ma sát có nguyên nhân từ gradien của rất nhiều thế năng tĩnh điện giữa các nguyên tử, nhưng nó lại thể hiện ra như một lực độc lập với bất kỳ vectơ vị trí vĩ mô nào. Lực không bảo toàn ngoài lực ma sát ra bao gồm lực tiếp xúc, sức căng bề mặt, sự nén và kéo. Tuy nhiên, cho những tình huống miêu tả thích hợp, tất cả những lực trên là kết quả của lực bảo toàn do mỗi lực vĩ mô này là tổng hợp của các gradien thế năng vi mô.[1][3]

Mối liên hệ giữa lực không bảo toàn vĩ mô với lực bảo toàn vi mô được miêu tả chi tiết trong cơ học thống kê. Trong hệ kín vĩ mô, lực không bảo toàn tác động đến sự thay đổi nội năng của hệ và thường đi kèm với hiệu ứng truyền nhiệt. Theo định luật thứ hai của nhiệt động lực học, lực không bảo toàn là kết quả cần thiết của quá trình biến đổi năng lượng trong hệ kín từ trạng thái trật tự chuyển sang trạng thái ngẫu nhiên khi entropy của hệ tăng lên.[1][3]